On the L Index of Spin Dirac Operators on Conical Manifolds

We compute the index of the Dirac operator on spin Riemannian manifolds with conical singularities, acting from L(Σ) to Lq(Σ−) with p, q > 1. When 1 + np − n q > 0 we obtain the usual Atiyah-Patodi-Singer formula, but with a spectral cut at n+1 2 − n q instead of 0 in the definition of the eta invariant. In particular we reprove Chou’s formula for the L index. For 1+ np − n q ≤ 0 the index formula contains an extra term related to the Calderón projector. Sur l’indice L des opérateurs de Dirac spinoriels sur des variétés coniques Résumé. Nous calculons l’indice de l’opérateur de Dirac sur des variétés Riemaniennes spinorielles à singularités coniques, agissant de Lp(Σ+) dans Lq(Σ−) avec p, q > 1. Pour 1 + np − n q > 0 nous obtenons la formule de AtiyahPatodi-Singer, mais avec une coupure spectrale en n+1 2 − n q à la place de 0 dans la définition de l’invariant êta. En particulier nous retrouvons la formule de Chou pour l’indice L2. Pour 1 + np − n q ≤ 0 la formule d’indice contient un nouveau terme lié au projecteur de Calderón.